Поле комплексных чисел

Рассмотрим множества N, Z, Q, R. Рассмотрим уравнение вида . В случае, если , то Таким образом, отыскание решений уравнения приводит к расширению множества N до множества Z.

Рассмотрим уравнение Решение уравнения приводит к переходу к множеству Q. Аналогично решение уравнений приводит к множеству R. Необходимость решать уравнение типа приводит к необходимости дальнейшего расширения множества чисел.

Поставим задачу построить новую систему чисел, которая бы содержала решения уравнения и являлась бы расширением множества R.

Def. Пару действительных чисел назовем комплексным числом.

Для построения новой числовой системы необходимо определить основные операции над ее элементами:

1) (8.1)

2) ; (8.2)

3) ; (8.3)

Свойства операции над комплексными числами.

Доказательство.

Свойства 1-3, 5 очевидны, они вытекают непосредственно из определения операций сложения и умножения комплексных чисел. Докажем остальные свойства.

Свойство 4. Пусть , тогда . Действительно, .

Свойство 6. Пусть .

.

.

Значит, .

Свойство 7. Доказывается аналогично свойству 6.

Свойство 8. Докажем, что существует единственный единичный элемент

Необходимо найти такой элемент , что .

Имеем . Отсюда получаем систему линейных уравнений:

Значит, - единственный единичный элемент .

Свойство 9. Найдем обратный элемент для

. Отсюда:

Решим полученную СЛУ по формулам Крамера. (т.к. ), . Имеем,

.

Значит, .

Def. Под разностью комплексных чисел и будем понимать комплексное число, которое получается следующим образом:

(8.4)

Т.к. для каждого комплексного числа противоположный элемент определен однозначно, то и операция вычитания определена однозначно.

Def. Число называют частным от деления числа на число , если .

Пусть . Тогда

.

Составим систему уравнений:

Система будет иметь единственное решение, если , т.е В этом случае

Таким образом, получаем

(8.5)

Нетрудно проверить, что (сделайте это самостоятельно).

Итак, определены основные операции на множестве комплексных чисел и, следовательно, завершено построение системы комплексных чисел. Свойства введенных операций над комплексными числами позволяют сделать вывод о том, что множество комплексных чисел является полем. Поле комплексных чисел обозначают большой латинской буквой С.

Проверим действие введенных операций на множестве действительных чисел. Пару отождествим с действительным числом Применим к и те арифметические операции, которые были определены на множестве комплексных чисел. Из (8.2 – 8.5) получаем:

;

.

Таким образом, применение операций на множестве С дает те же результаты, что и соответствующие операции на R. Следовательно С есть алгебраическое расширение множества R.