Основные понятия векторной алгебры. Линейные операции над векторами и их свойства. Линейно зависимые (независимые) системы векторов. Базис. Координаты вектора. Основные понятия векторной алгебры

Физические величины можно разделить на два вида: скалярные и векторные. Скалярные величины характеризуется числом при данной единице измерения. Такими величинами, например, являются масса, температура, площадь, плотность и т.д.

Def. Величины, которые характеризуются неотрицательным числом при данной единице измерения (модулем) и направлением, называются векторными.

Векторные величины обычно изображают направленными отрезками.

Рассмотрим в пространстве две точки А и В. Они определяют отрезок АВ.

Def. Отрезок АВ называется направленным, если его концы А и В упорядочены; если при этом первой является точка А, а второй – точка В, то А – начало отрезка, а В – его конец.

Направленный отрезок обозначается .

Def. Модулем направленного отрезка называется длина отрезка АВ.

отрезки и содержащие точки и соответственно, расстояние не превосходит некоторого данного расстояния (рис. 10.2).

Def. Если начало и конец направленного отрезка совпадают, то его называют нулевым направленным отрезком. Его модуль считается равным нулю, а направление не определено.

Def. Два направленных отрезка и считаются равными, если они сонаправлены и имеют равные длины. (Обозначают ).

Def. Множество всех равных направленных отрезков называется вектором (или свободным вектором).

Так понимаемый вектор называется свободным, поскольку он представляется направленным отрезком независимо от того, от какой точки тот отложен. Равные направленные отрезки и , отложенные от разных точек представляют один и тот же вектор. Поэтому говорят: – это вектор , отложенный от точки А.

Def. Направление равных направленных отрезков называется направлением вектора, а их модуль – модулем вектора.

Таким образом, любой направленный отрезок однозначно определяет вектор, а вектор – это класс равных направленных отрезков.

Def. Если , то вектор называется единичным вектором или ортом. Def. Множество нулевых отрезков называется нулевым вектором . Его длина равна нулю, а направление не определено.

Def. Вектор называется противоположным вектору , если они имеют равные модули и противоположно направлены.

Т.е. если вектор , то вектор

Def. Сонаправленные и противоположно направленные векторы называются коллинеарными. Обозначают . Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Def. Три (или более) вектора называются компланарными, если они параллельны некоторой плоскости.