Метод Гаусса

Рассмотрим СЛУ (1.1). Не нарушая общности, можем считать, что . Преобразуем эту СЛУ так, чтобы исключить неизвестное из всех уравнений кроме первого. Для этого умножим первое уравнение на и прибавим ко i – му уравнению .

Приходим к эквивалентной СЛУ, в которой s уравнений и n неизвестных (новые коэффициенты при неизвестных – , новые свободные члены – ):

(1.5)

Если в СЛУ (1.5) есть уравнение, все коэффициенты левой части которого равны нулю, а свободный член отличен от нуля, то это уравнение не удовлетворяется ни при каких значениях переменных. Поэтому можем сделать вывод о несовместности системы. Если же в СЛУ (1.5) есть уравнение, в котором и все коэффициенты левой части и свободный член равны нулю, то очевидно это уравнение удовлетворяется при любых значениях неизвестных, поэтому, отбросив его, мы приходим к равносильной системе. Аналогично, избавляемся от переменной во всех уравнениях кроме первого и второго, затем из всех уравнений кроме первых трех и т.д. В результате таких преобразований система (1.1) приведется к ступенчатому виду:

(1.6)

Эта часть решения СЛУ называется «прямым ходом». Здесь . Очевидно, что и . Дальнейшая часть решения (непосредственное нахождение неизвестных) носит название «обратного хода». Рассмотрим возможные случаи.

1) Если в СЛУ (1.6) , то СЛУ сведется к «треугольному» виду:

(1.7)

Из последнего уравнения СЛУ (1.7) найдем . Подставляя его в предпоследнее уравнение, найдем . Продолжая аналогичным образом, получим, что СЛУ (1.7), а значит и СЛУ (1.1), имеет единственное решение.

2) Если в СЛУ (1.6) , то система сводится к трапецеидальному виду. В этом случае считаем переменные «свободными». Придавая им произвольные значения, найдем из последнего уравнения , после чего, двигаясь по системе снизу вверх, как и выше, найдем значения . Так как значения для «свободных» переменных можно выбрать бесконечным числом способов, то система (1.7), а значит и система (1.1) имеет бесконечное число решений, т.е. неопределенная.

Таким образом, метод Гаусса применим для решения любой СЛУ. При этом, если в процессе преобразований получаем уравнение, у которого все коэффициенты левой части равны нулю, а свободный член не равен нулю, то СЛУ несовместна. В противном случае СЛУ совместна.

Если совместная СЛУ приводится к треугольному виду, то она будет определенной, а если к трапецеидальному - то неопределенной.

Отдельно стоит остановиться на однородных СЛУ. Такая система всегда совместна, поскольку имеет тривиальное решение .

Если однородной СЛУ число неизвестных больше числа уравнений, то она не может свестись к треугольному виду, поскольку в процессе «прямого хода» метода Гаусса число уравнений может лишь уменьшиться и не может увеличиться. Значит, однородная СЛУ в этом случае будет неопределенной.

При практическом решении СЛУ все преобразования проводят над строками расширенной матрицы системы.