Подстановки

Def. Подстановкой степени n называется взаимно однозначное отображение множества чисел 1, 2, 3, …, n на себя.

Записывают подстановку в виде двух перестановок, записанных друг под другом:

(2.1)

Подстановка обладает многими различными записями вида (2.1). Любая подстановка А может быть записана в виде:

(2.2)

Здесь - перестановка чисел 1, 2, 3, …, n.

Очевидно, что общее число подстановок степени n равно

Def. Подстановка называется четной (нечетной), если общее число инверсий в перестановках, образованных в верхней и нижней строках четно (нечетно).

Если подстановка записана в виде (2.2), то ее четность определяется четностью перестановки во второй строке, поскольку число инверсий в верхней строке равно нулю.

Def. Транспозицией подстановки называется транспозиция одной из перестановок в верхней или нижней строках (но не в обоих одновременно).

Отсюда следует, что всякая транспозиция меняет четность подстановки на противоположную. Число четных подстановок степени n равно числу нечетных подстановок и равно .

Очевидным является следующее утверждение.

Def. Подстановка называется тождественной.

Def. Применение одной подстановки вслед за другой тоже будет подстановкой, которую называют произведением первой из заданных подстановок на другую.

N. Пусть и . Найти и . , .

Свойства произведения подстановок:

Доказательство.

1) Доказательством некоммутативности является приведенный выше пример.

2) Докажем ассоциативность произведения подстановок. Пусть (подстановка А переводит элемент в элемент ), , . Тогда, , а . С другой стороны и .

3) Если и , то, перемножая эти подстановки, получаем, что .

Def. Обратной для подстановки А называется такая подстановка той же самой степени, что .

Очевидно, что для подстановки обратная получается переменой строк, т.е.

. (2.3)

С каждой квадратной матрицей связано определенное число, называемое ее определителем или детерминантом, которое обозначается (или ) и записывается в следующей символьной форме:

(2.4)