lec_alg_i_geom

Скалярное произведение векторов

Def. Скалярным произведением векторов называют число, равное произведению их модулей на косинус угла между ними. Обозначают или Т.е.

(11.9)

где угол между и

Из формулы (11.9) имеем:

(11.10)

Согласно (11.2)

Заменяя по формуле (11.10), получаем:

(11.11)

Соотношение (11.11) можно записать и в таком виде:

(11.12)

Свойства скалярного произведения векторов

1. (коммутативный закон) (11.13)

2. (11.14)

3. (дистрибутивный закон) (11.15)

4. (11.16)

5. Два ненулевых вектора и перпендикулярны тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Свойства 1, 2, 4, 5 вытекают непосредственно из определения. Докажем свойство 3. Согласно (11.12) и (11.4)

Что и требовалось доказать .

Th.11.3

Если и то

(11.13)

Доказательство.

Согласно (11.16) А поскольку взаимно перпендикулярные векторы, то

Получаем .

N. Векторы и образуют угол Найдите если а

Решение.

Упростим искомое выражение на основании свойств скалярного произведения.

Согласно свойству 4:

По определению скалярного произведения

Тогда,

Ответ.

Содержание