logo
lec_alg_i_geom

Системы линейных уравнений

Рассмотрим систему линейных уравнений:

(7.6)

- матрица СЛУ (7.6), - расширенная матрица СЛУ(7.6).

Очевидно, что . Вопрос о совместности системы линейных уравнений решается с помощью следующей теоремы.

Th.7.9

(Кронекера – Капелли)

Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда

Доказательство.

Система линейных уравнений несовместна тогда и только тогда, когда в ступенчатой матрице к которой сводится расширенная матрица этой системы появляется строка вида , где . А это означает, что . Таким образом, система линейных уравнений совместна тогда и только тогда, когда .

Леопо́льд Кро́некер (7.12.1823 — 29.12.1891) — немецкий математик. Основные труды по алгебре и теории чисел. Большое значение имеют его исследования по арифметической теории алгебраических величин.

Теорема Кронекера-Капелли утверждает существование решения СЛУ, но не указывает практического способа их отыскания. Укажем способ их нахождения.

Пусть СЛУ (7.6) совместна, т.е. . Пусть линейно независимыми являются первые r строк матрицы А и первые r строк матрицы Значит любая другая строка матрицы является линейной комбинацией 1,2,…,r строк. Тогда решение первых r уравнений удовлетворяет остальным. Таким образом, система (7.6) сводится к системе (7.7):

(7.7)

Если , то число уравнений равно числу неизвестных и кроме того . Значит, согласно тереме Крамера, СЛУ имеет единственное решение, которое находится по формулам Крамера.

Если , то число уравнений меньше, чем число неизвестных и существует минор матрицы А r-го порядка отличный от 0. Пусть он расположен в первых r столбцах. Оставим в левой части каждого уравнения первые r слагаемых, а остальные перенесем в правую часть:

(7.8)

В СЛУ (7.8) главный определитель . Если применить к (7.8) правило Крамера, то она имеет единственное решение. Значит, значения выбираем свободно (их называют свободные переменные) и для каждого набора найдем . Таким образом, СЛУ имеет множество решений.

N. Решить систему линейных уравнений .

Решение.

.

Данная СЛУ имеет три неизвестные. Вычислим ранги обеих матриц. . Значит СЛУ совместна и имеет бесконечное множество решений. Базисными строками матриц А и являются первые две строки. Поэтому оставим первые два уравнения системы, а переменную z считаем свободной и переносим ее в правую часть уравнений:

(7.9)

Решаем полученную систему по правилу Крамера.

, , .

Откуда .

Ответ: .