Извлечение корня n-ой степени из комплексного числа

Def. Число u называется корнем n-ой степени из числа если

Пусть и По определению

Применив формулу Муавра, получим:

Отсюда или:

Таким образом, где

При мы получим n различных значений корня. Действительно, увеличение k на единицу приводит к увеличению аргумента на .

Пусть теперь k – любое, тогда его можно представить в виде В этом случае

Это означает, что значение аргумента при нашем k отличается от аргумента при k=t на число кратное т.е. мы получаем такое же значение корня, как и при k=t ( ). Таким образом, имеет ровно n значений, которые вычисляются по формуле:

Геометрически все значения изображаются вершинами правильного n-угольника, вписанного в окружность с центром в начале координат и радиусом

N. Вычислить значения . Изобразить их на комплексной плоскости.

Решение.

Запишем это число в тригонометрической форме.

Значит,

При