lec_alg_i_geom

Парабола

Def. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, каждая из которых равноудалена от данной точки (фокуса) и данной прямой (директрисы параболы).

Пусть расстояние от фокуса параболы до ее директрисы равно Выберем декартову прямоугольную систему координат на плоскости так, чтобы ось была параллельна директрисе

Рис. 17. 4

и фокус был расположен в точке (рис. 17.4). Пусть - текущая точка параболы.

Согласно определению параболы

Таким образом,

(17.2)

Уравнение (17.2) называется каноническим уравнением параболы.

Исследуем форму параболы, заданной уравнением (17.2).

1. Из (17.2) вытекает, что Значит парабола расположена в правой полуплоскости.

2. Если точка принадлежит параболе, то ей принадлежит и точка Следовательно, имеет место симметрия относительно оси абсцисс.

3. Очевидно, что парабола проходит через точку Можно показать, что парабола в этой точке касается оси Точку называют вершиной параболы.

4. Если то

Таким образом, парабола, заданная уравнением (17.2), имеет вид, изображенный на рис. 17.4.

Рис. 17.4

Замечание.

Если фокус параболы лежит на оси а директриса параллельна оси ординат (при этом фокус и директриса равноудалены от оси абсцисс), то ее уравнение имеет вид:

(17.3)

Очевидно, что кривая, определяемая уравнением 17.3 задает кривую, изображенную на рис. 17.5.

Уравнения также задают параболы, котрые изображены на рис. 17.6 и 17.7

Рис. 17.5

Рис. 17.6

Рис. 17.7

Содержание