logo
lec_alg_i_geom

Алгебраическая форма записи комплексных чисел

Обозначим . Тогда .

Таким образом, число i является корнем уравнения

Перейдем к другой, более удобной форме записи комплексных чисел. Очевидно, .

Def. Если комплексное число записано в виде , то такую форму записи называют алгебраической формой записи комплексного числа.

Число i называют мнимой единицей, действительной частью числа z , мнимой частью числа z Числа вида называют чисто мнимыми числами.

Def. Пусть . Числом, сопряженным z, называется число

Операции 8.2 - 8.5 определяются для комплексных чисел, записанных в алгебраической форме следующим образом:

; (8.6)

; (8.7)

; (8.8)

(8.9)

Символ i для мнимой единицы предложил Л. Эйлер в 1777, взявший для этого первую букву слова лат. imaginarius. Ему же принадлежит мысль об алгебраической замкнутости поля комплексных чисел (1751), но строгое доказательство этого факта принадлежит Гауссу (1799). Гаусс и ввёл в широкое употребление термин «комплексное число» в 1831 году, хотя этот термин ранее использовал в том же смысле французский математик Лазар Карно в 1803 году.

Нет необходимости запоминать эти формулы. Можно заметить, что достаточно лишь раскрыть скобки и привести подобные слагаемые относительно действительных и мнимых частей. При умножении комплексных чисел, записанных в алгебраической форме, следует формально перемножить выражения (как двучлен на двучлен), учитывая, что , а затем выделить действительную и мнимую части полученной суммы.

Выполнение операции деления легко формализуется, если предварительно числитель и знаменатель умножить на число сопряженное с числителем. Действительно,

N. 1)

2)

Th.8.1

(свойства операции сопряжения)

1.

2.

3.

4.

Доказательство.

1.

.

2.

Таким образом, .

3.

Таким образом, .

4.

Таким образом, .