Правило Крамера.

Теория определителей имеет широкое применение в теории систем линейных уравнений.

Доказательство.

Пусть дан определитель .

Рассмотрим другой определитель , отличающийся от только тем, что в k-ом столбце повторен i-ый столбец.

.

По теореме 3.4 . Разложим его по элементам k-го столбца, получим:

, где - алгебраические дополнения к элементам k-го столбца определителя . Но поскольку отличается от только k-ым столбцом, то они будут и алгебраическими дополнениями элементов k-го столбца и в определителе . Таким образом.

.

Рассмотрим систему n линейных уравнений с n неизвестными:

(4.3)

Назовем определитель матрицы СЛУ (4.3) главным определителем этой системы. Умножим первое уравнение на , второе – на и т.д., n-ое уравнение – на и сложим их. Имеем:

.

Согласно выше доказанной лемме , …, . В силу следствия из теоремы Лапласа о разложении определителя по элементам столбца , а - определитель, полученный из главного определителя СЛУ путем замены его первого столбца столбцом свободных членов. Таким образом, получили: (4.4)

Аналогично получаем: , …, (4.5)

1) Если , то СЛУ (4.3) имеет единственное решение:

Формулы (4.6) называются формулами Крамера.

2) Если , а хотя бы один из , то СЛУ (4.3) несовместна.

3) Если , то СЛУ (3.9) неопределенна или несовместна.