Плоскость в пространстве Уравнение плоскости в пространстве

Уравнению первой степени на координатной плоскости соответствует в координатном простанстве уравнение

(14.1)

Доказательство этой теоремы полностью моделирует доказательство соответсвующего утверждения для прямой на плоскости (проведите его самостоятельно, используя рис. 14.1).

Уравнение (14.1) называется общим уравнением плоскости, вектор – нормальным вектором плоскости.

Если плоскость проходит через точку перпендикулярно вектору (рис. 14.1), то ее уравнение можно записать в виде:

(14.2)

Плоскость однозначно определяется точкой и двумя векторами и ( неколлинеарны). Векторы и называются направляющими векторами плоскости. Пусть – текущая точка плоскости радиус вектор точки радиус-вектор точки (рис. 14.2).

тогда и только тогда, когда векторы компланарны. А поскольку неколлинеарны, то можно разложить по этим векторам, т.е. имеет место равенство:

Учитывая, что получаем:

(14.3)

Уравнение (14.3) называется векторным уравнением плоскости.

Т.к. тоуравнение (14.3) в координатной форме принимает вид:

(14.4)

Уравнения (14.4) называются параметрическими уравнениями плоскости.

Условие компланарности векторов можно выразить через смешанное произведение этих векторов: , или в координатной форме:

(14.5)

Уравнение (14.5) – уравнение плоскости, проходящей через точку с заданными направляющими векторами и

Плоскость однозначно определяется тремя точками не лежащими на одной прямой. В этом случае и – направляющие векторы плоскости Тогда из уравнения (14.5) получаем:

(14.6)

Уравнение (14.6) носит название уравнения плоскости, проходящей через три точки.

После раскрытия определителя получаем:

(14.7)

Уравнение (14.7) называется уравнением плоскости в отрезках на осях.