lec_alg_i_geom

Расстояние от точки до плоскости

Пусть в пространстве задана плоскость и точка Найдем расстояние от точки до плоскости Очевидно, что какова бы ни была точка плоскости (рис. 14.6), справедливо соотношение:

где

Рис. 14.6

Поскольку то

Тогда:

Таким образом, имеем:

(14.10)

Замечание. Если нормальный вектор плоскости отложен от некоторой точки прямой, то для всех точек , которые лежат в одной полуплоскости с концом вектора , а для всех точек, лежащий в другой полуплоскости, Таким образом, для точек, лежащих в одной из полуплоскостей, на которые разбивает координатную плоскость прямая, а для точек другой полуплоскости

N. Две грани куба лежат в плоскостях и Найти объем куба.

Решение.

Т.к. то Значит, в условии речь идет о противоположных гранях куба. Ребро куба равно расстоянию между этими плоскостями. Для его нахождения выберем произвольную точку плоскости и вычислим расстояние от нее до плоскости

Пусть точка Значит, ее координаты удовлетворяют уравнению плоскости

Найдем расстояние от точки до плоскости по формуле (14.10).

Таким образом, и

Ответ.

Содержание