Матрицы. Операции над матрицами. Линейные преобразования и матрицы

Понятие матрицы было использовано нами в качестве вспомогательного инструмента при изучении систем линейных уравнений. Другие многочисленные применения сделали его предметом самостоятельной теории.

Матрицы связаны естественным образом с линейным преобразованием переменных. Под линейным преобразованием переменных будем понимать переход от одной системы переменных к другой .

(5.1)

Линейное преобразование задаётся посредством матрицы коэффициентов:

(5.2)

Def. Матрицей называется прямоугольная таблица, заполненная некоторыми математическими объектами, которые называются элементами матрицы.

Используется также запись . Напомним, что первый индекс нумерует строки, а второй – столбцы.

Матрицы обозначаются прописными латинскими буквами, а их элементы соответствующими строчными буквами с индексами.

Количество строк и столбцов определяет размер матрицы (об этом уже шла речь в лекции 1)

Def. Матрица, содержащая одну строку, называется матрицей-строкой (или вектор-строкой). Матрица, содержащая один столбец, называется матрицей-столбцом (или вектор-столбцом).

Def. Если все элементы матрицы равны 0, то такая матрица называется нулевой.

Def. Если все элементы квадратной матрицы, расположенные вне главной диагонали, равны 0, то матрица называется диагональной.

(5.3)

Def. Диагональные матрицы, все элементы главной диагонали которых равны между собой, называют скалярными матрицами.

(5.4)

Def. Скалярная матрица, в которой все диагональные элементы равны 1, называется единичной матрицей.

(5.5)

Def. Две матрицы называются равными, если равны их размерности и соответствующие элементы, т.е.