5.6 Элементы топологии

Топология изучает понятия непрерывности и близости с абстрактной точки зрения.

Определение. Окрестностью точки р называется произвольное множество U, содержащее открытый шар (не включая границу) с центром в точке р.

Окрестностью на плоскости, очевидно, является открытый круг с центром в точке р.

Из определения окрестности вытекают следующие очевидные свойства:

1) Точка р принадлежит любой своей окрестности.

2) Если U – окрестность точки р , а V U, то V – тоже окрестность точки р .

3) Если U и V – окрестности точки р , то их пересечение U  V тоже будет окрестностью точки р .

4) Если U – окрестность точки р , то можно найти такую окрестность V точки р , что W = V  U является окрестностью является окрестностью каждой из своих точек.

Определение. Топологическим пространством называется множество Е, каждая точка которого р имеет набор подмножеств множества Е, называемых окрестностями точки р и удовлетворяющих приведенным выше свойствам.

Частным случаем топологического пространства является метрическое пространство.

Определение. Пусть Е – топологическое пространство, а F – его подмножество. Пусть р – точка множества F. Назовем подмножество U множества F окрестностью точки р в F, если U = FV, где V – окрестность точки р в E.

При этом множество F называется подпространством пространства Е.