3.2 Метод Ньютона

Суть метода состоит в том, что система нелинейных уравнений сводится к решению систем линейных алгебраических уравнений. Пусть дана система (3.1) и задано начальное приближение x⁽⁰⁾, приближение к решению х строим в виде последовательности .

В исходной системе (3.1) каждую функцию где i= , раскладывают в ряд Тейлора в точке х⁽ⁿ⁾ и заменяют линейной частью её разложения

Для каждого уравнения получаем

В матричной форме

где f ' - матрица Якоби.

Предположим, что матрица не вырождена, то есть существует обратная матрица .

Тогда система (3.6) имеет единственное решение, которое и принимается за очередное приближение x⁽ⁿ⁺¹⁾. Отсюда выражаем решение x⁽ⁿ⁺¹⁾ по итерационной формуле:

Формула (3.7) и есть итерационная формула метода Ньютона для приближенного решения системы нелинейных уравнений.

Замечание. В таком виде уравнение (3.7) используется редко в виду того, что на каждой итерации нужно находить обратную матрицу. Поэтому поступают следующим образом: вместо системы (3.6) решают систему линейных алгебраических уравнений вида

Это система линейных алгебраических уравнений относительно поправки x⁽ⁿ⁺¹⁾= x⁽ⁿ⁺¹⁾- x⁽ⁿ⁾. Затем полагают