1.1 Элементы и множества

Понятие множества относится к числу фундаментальных понятий математики.

Определение. Под множеством понимают совокупность определенных различаемых объектов, таких, что для любого объекта можно установить, принадлежит он данному множеству или нет.

Пример. Можно рассматривать множества объектов любой природы: множество городов Беларуси, множество студенческих групп на факультете, множество букв русского языка, множество натуральных чисел.

Сами объекты, из которых состоит множество, называются его элементами. Все элементы множества различны и отличимы друг от друга.

Множества обычно обозначают прописными буквами (А, В, С и т.д.), а их элементы – строчными (например: x, y, z).

Если элемент x принадлежит множеству А, то пишут x Î A. Запись x Ï A означает, что элемент x не принадлежит множеству А.

Множества, как объекты, могут быть элементами других множеств. Множество, элементами которого являются другие множества, обычно называется семейством, или классом множеств.

Обычно семейства множеств обозначают рукописными буквами латинского алфавита для отличия их от обычных множеств.

Множество, не содержащее элементов, называется пустым множеством и обозначается символом Ø .

Если все рассматриваемые множества (в конкретной задаче) являются подмножествами более широкого множества U, то множество U называется универсальным множеством, или универсумом.

Мощность множества M обозначается как |M| и для конечного множества равняется числу элементов в нем.

Заметим, что |Ø | = 0, но |{Ø }| = 1.

Для числовых множеств здесь и далее будем использовать следующие обозначения: N – множество натуральных чисел, Z – множество целых чисел, R – множество действительных чисел, P – множество простых чисел, Q – множество рациональных чисел.