2.1 Метод регуляризации для решения плохо обусловленных систем

Рассмотрим систему

Ах=В. (2.1)

Для краткости перепишем эту систему в эквивалентный форме

. (2.2)

Для примера рассмотрим систему

.

Тогда ее можно представить как

(2х₁-х₂-1)²+(х₁-2х₂-2)²=0. (2.2*)

Решение системы (2.2) совпадает с решением системы (2.2*).

Если коэффициенты A или B известны неточно, то решение также является не точным, поэтому вместо равенства можем потребовать приближенного выполнения равенства и в этом виде задача становится не определенной и нужно добавить дополнительные условия.

В качестве дополнительного условия вводят требование, чтобы решение как можно меньше отклонялось от заданного х₀ т.е. (х-х₀, х-х₀) было минимальным. Следовательно, приходим к регуляризованной задаче вида

(Ах-B, Ax-B)+(x-x₀, x-x₀)=min, (2.3)

где >0.

Используя свойства скалярного произведения, выражение (2.3) перепишем в виде

(x,A^TAx)-2(x,A^TB)+(B,B)+[(x,x)-2(x,x₀)+(x₀,x₀)]=min. (2.4)

Варьируя x в уравнении (2.4), получим уравнение вида

(A^TА+E)x=A^TB+x₀. (2.5)

Система (2.5) – система линейных алгебраических уравнений, эквивалентная системе (2.1). Систему (2.5) решаем с помощью метода Гаусса или с помощью метода квадратных корней. Решая систему (2.5) найдем решение, которое зависит от числа .

Выбор управляющего параметра . Если =0, то система (2.5) перейдет в плохо обусловленную систему (2.1).

Если же –велико, то система (2.5) переходит в хорошо обусловленную систему и решение этой системы может сильно отличаться от решения системы (2.1).

Оптимальное значение  – это такое число, при котором система (2.5) удовлетворительно обусловлена.

На практике пользуются невязкой вида , и эту невязку сравнивают по норме с известной погрешностью правых частей и с влиянием погрешности коэффициентов матрицы .

Если – слишком велико, то или || ||. Если – мало, то или || ||.

Поэтому проводят серию расчетов, при различных  и в качестве оптимального значения выбирают то значение , когда выполнено следующее условие

.

Для выбора вектора х₀ нужно знать приближенное решение или же, если приближенное решение трудно определить, то х₀ =0.