6.7.1 Метод конечных разностей

Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение

(6.48)

с двухточечными краевыми условиями

; ,

(6.49)

где: p, q, f-известные непрерывные функции на некотором отрезке [a,b].

Одним из наиболее простых методов решения этой краевой задачи является сведение ее к системе конечно-разностных уравнений.

Основной отрезок [a,b] делим на n - равных частей с шагом h=(b-a)/n, то есть рассматриваем равномерную сетку , i=0,1,…,n. Производные в исходном уравнении (6.48) заменяем конечно-разностными отношениями. Для внутренних точек

(6.50)

где i=1,...,n-1.

Для граничных точек и , чтобы не выходить за границы отрезка, производные заменяем отношениями

.

(6.51)

Используя отношения (6.50), (6.51) исходное дифференциальное уравнение (6.48) аппроксимируем конечно-разностными уравнениями

,

(6.52)

где i=1,...,n-1. Учитывая краевые условия, получим еще два уравнения

.

(6.53)

Таким образом получена линейная система n+1 уравнений с n+1 неизвестными , представляющими собой значения искомой функции в точках . Решив эту систему, получим таблицу значений искомой функции y.