5.1.1 Оценка погрешности интерполяционного многочлена

Оценить погрешность интерполяционной формулы Лагранжа можно только тогда, когда известно аналитическое выражение интерполируемой функции, а точнее, если известно максимальное значение (n+1)-ой производной функции f(x) на отрезке [a,b]. Пусть

|R (x)| =| f(x) - L (x)|,

где R (x) –погрешность;

f(x)- точное значение функции в точке х;

L (x)- приближенное значение, полученное по полиному Лагранжа.

Если обозначить через M = , где x [a,b], причем х₀=а, х = b, то

.

Рассмотрим теперь случай с равноотстоящими узлами. Тогда интерполяционная формула Лагранжа заметно упрощается. В этом случае шаг h=x_i+1-x_i=const. Введем в рассмотрение многочлен вида

Q_i(x)=

Введем обозначение q= , отсюда следует, что

= ,

= ,

. . . . . . . . . . .

=

=

Тогда многочлен Q_i примет вид

Q_i(x)=

Произведя простейшие преобразования, получим выражение вида:

Q (q)= = ,

где

Тогда интерполяционный многочлен Лагранжа для равноотстоящих узлов имеет вид:

L (x)= .

На практике часто пользуются линейной и квадратичной интерполяцией. В этом случае формула Лагранжа имеет вид

L₁(x)= - при линейной интерполяции;

L₂(x)= - при квадратичной интерполяции.