7.3 Решение смешанной задачи для уравнения гиперболического типа методом сеток

Рассмотрим уравнение колебания однородной и ограниченной струны.

Задача состоит в отыскании функции u(x,t) при t>0, удовлетворяющей уравнению гиперболического типа

,

(7.12)

где: 0<x< a; 0<t<T,

начальным условиям

0  x  a

(7.13)

и краевым условиям

(7.14)

Заменим С на сt и получим уравнение

и в дальнейшем будем считать С=1.

Для построения разностной схемы решение задачи (7.12)-(7.14) построим в области сетку ; i=0,1,…,n; ; ; j=0,1,…,m; m=T.

Аппроксимируем (7.12) разностными производными второго порядка точности относительно шага

.

(7.15)

Полагая =/h перепишем (7.15), выразив U_i,j+1. Таким образом получим трехслойную разностную схему

,

(7.16)

где: i=1,…,n; j=1,…,m. Задаем нулевые граничные условия ₁(t)=0, ₂(t)=0. Тогда в (7.16) , для всех j.

Схема (7.16) называется трехслойной, т.к. она связывает значения искомой функции на трех временных слоях j-1, j, j+1.

Численное решение задачи состоит в вычислении приближенных значений решения u(x,t) в узлах при i=1,…,n; j=1,…,m. Алгоритм решения основан на том, что решение на каждом следующем слое (j=2,3,..,n) можно получить пересчетом решений с двух предыдущих слоев (j=0,1,..,n-1) по формуле (7.16). При j=0 решение известно из начального условия . Для вычисления решения на первом слое (j=1) положим

,

(7.17)

тогда , i=1,2,…,n. Теперь для вычисления решений на следующих слоях можно использовать формулу (7.16).

Описанная схема аппроксимирует задачу (7.12)-(7.14) с точностью O(+h). Невысокий порядок аппроксимации по  объясняется грубостью аппроксимации по формуле (7.17).

Схема будет устойчивой, если выполнено условие .