Теорема об lu разложении

Введем обозначения: - угловой минор порядка j матрицы А, т.е.

Теорема. Пусть все угловые миноры матрицы А не равны нулю (Δj0 для j= ). Тогда матрицу А можно представить единственным образом в виде произведения А=L*U.

Идея доказательства. Рассмотрим матрицу А второго порядка и будем искать разложение этой матрицы в виде L и U.

.

Сопоставляя эти два равенства, определяем элементы матриц L и U (перемножим и приравняем неизвестные). Система имеет единственное решение. Методом математической индукции сказанное можно обобщить для матрицы размерности mm.

Следствие. Метод Гаусса (схема единственного деления) можно применять только в том случае, когда угловые миноры матрицы А не равны нулю.