1.1.1 Метод Гаусса

Прямой ход метода

1-й шаг. Предположим, что а₁₁0. Поделим первое уравнение на этот элемент:

. (1.3)

Остальные уравнений системы (1.1) запишем в виде

, (1.4)

где i= .

Уравнение (1.3) умножаем на a_i1 и вычитаем из i-го уравнения системы (1.4).

Получим систему вида:

. (1.5)

.

Система (1.5) имеет матрицу вида:

.

Работаем с укороченной системой, т.к. х₁ входит только в 1-ое уравнение

.

2-й шаг. Если , то из укороченной системы аналогично исключаем неизвестное x₂ и получаем матрицу коэффициентов такого вида:

.

Аналогично повторяем указанные действия для неизвестных х₃,х₄,..., х_m-1 и приходим к системе с матрицей вида:

. (1.6)

Эта матрица является верхней треугольной:

.

Обратный ход метода

Из последнего уравнения системы (1.6) находим х_m, из предпоследнего х_m-1, ..., из первого уравнения – х₁.

Общая формула: x_m=y_m/c_mm,

, (i=m-1,…,1).

Для реализации метода Гаусса требуется примерно (2/3)m³ арифметических операций, причем большинство из них приходится на прямой ход.

Ограничение метода единственного деления заключается в том, что угловые элементы не равны нулю, т.е. .

Ведущие элементы – – элементы на k-ом шаге исключения. Но если ведущий элемент близок к нулю, то в процессе вычисления может накапливаться погрешность. В этом случае на каждом шаге исключают не х_k, a х_j (при jk). Такой подход называется методом выбора главного элемента. Для этого выбирают неизвестные x_j с наибольшим по абсолютной величине коэффициентом либо в строке, либо в столбце, либо во всей матрице. Для его реализации требуется - арифметических действий.