4.1.4 Метод итераций определения первого собственного числа матрицы

Пусть дано характеристическое уравнение:

det(A-*E) = 0,

где ₁, ₂,..., _n - собственные значения матрицы А.

Предположим, что |₁|>|₂||₃|…|_m|, т.е. ₁ – наибольшее по модулю собственное число.

Тогда для нахождения приближенного значения λ₁ используется следующая схема:

1) выбирают произвольно начальный вектор у⁽⁰⁾;

2) строят последовательность итераций вида:

выбирают , тогда

или ,

где y_i – соответствующие координаты векторов y^(m+1) и y^(m).

Возникает вопрос выбора начального вектора у⁽⁰⁾. При неудачном выборе можем не получить значения нужного корня, или же предела может не существовать. Этот факт при вычислении можно заметить по прыгающим значениям этого отношения, следовательно, нужно изменить у⁽⁰⁾. В качестве первого собственного вектора можно взять вектор у⁽ⁿ⁺¹⁾ и пронормировать его.

Пример. Найти наибольшее по модулю собственное значение и соответствующий ему собственный вектор матрицы А

1) Выбираем начальный вектор .

2) Вычисляем последовательно векторы y⁽¹⁾, y⁽²⁾, …, y⁽¹⁰⁾. Вычисления помещаем в таблицу 2.

Таблица 2 – Вычисление векторов y⁽ⁿ⁺¹⁾

3) Вычисляем отношения координат векторов

Вычисляем λ₁ как среднее арифметическое

.

5) Определим соответствующий числу λ₁ собственный вектор:

Нормируем y⁽¹⁰⁾, разделив на длину вектора

получим вектор

Далее можем определить второе собственное число

,

где i=1,2,…,n.

При вычислении собственных чисел подобным образом, будет накапливается ошибка. Данная методика позволяет приближенно оценить собственные значения матрицы.