6.3.1 Понятие жесткой системы оду

Замечание. Все вышерассмотренные методы легко реализуются на примере одного уравнения и легко переносятся на системы ДУ, но при решении систем возникают дополнительные трудности, связанные с разномасштабностью описанных процессов.

Рассмотрим пример системы двух уравнений:

,

где: t >0; a₁,a₂>0. Это система однородных независимых ДУ

.

Решение монотонно убывает с ростом t. Пусть коэффициент а₂ на порядок и выше больше а₁, т.е. а₂>>a₁. Тогда компонента u₂ затухает гораздо быстрее u₁, начиная с некоторого момента времени t и тогда решение задачи u(t) полностью будет определяться поведением компоненты u₁. Однако при численном решении данной задачи шаг интегрирования  будет определяться компонентой u₂, несущественной с точки зрения поведения решения системы. Рассмотрим метод Эйлера для решения данной системы

.

Он будет устойчив, если на  наложены ограничения

.

Учитывая, что >> , получаем окончательное ограничение на 

.

Такие трудности могут возникнуть при решении любых систем ОДУ. Рассмотрим в качестве примера систему

,

(6.25)

где А-квадратная матрица m*m. Если матрица А имеет большой разброс собственных чисел, то возникают проблемы с разномасштабностью описываемых системой процессов.

Допустим, что матрица А постоянна (т.е. не зависит от t). Тогда система (6.21) будет называться жесткой, если:

вещественные части собственных чисел для всех k, где к=1,…,m;

число велико (десятки и сотни), и число S называется числом жесткости системы.

Если же матрица А зависит от t, то и собственные числа зависят от t и зависят от t.

Решение жесткой системы (6.25) содержит как быстроубывающие, так и медленно убывающие составляющие.