ЭУМКД_ДиВМ3

1.2 Задание множеств. Парадокс Рассела

Пример. Рассмотрим несколько множеств:

1) А = {2, 4, 6}; 2) B = {1, 3, 5}; 3) C = {A, B};

4) D = { x Î R | x>0}; 5) E = {2·y | y=1, 2, …, n};

6) F = {x | x=1 или x=2·y, yÎ F } {степени двойки: 1, 2, 2², 2³, 2⁴, …}

В первом и втором пунктах примера множества заданы путем перечисления их элементов. В третьем пункте – тоже, но здесь элементами множества C являются множества. Заметим, что множество C имеет только два элемента и, в частности, 1  C, хотя 1  A и A  C . Действительно: 1 A и 1 B,  1  C, т.к. только A и B являются элементами C.

В 4-м примере множество D задано путем его описания, т.е. задания неких свойств его элементов.

Множества E, F строятся согласно указанному способу порождения множества, т.е. с помощью задания некой процедуры построения, причем множество F определяется через его же элементы. Правило задания F является рекурсивным.

Задание множества путем указания его свойств может приводить к противоречиям. Например, один из наиболее типичных теоретико-множественных парадоксов носит название парадокса Рассела и состоит в следующем. Рассмотрим множество всех множеств, которые не содержат себя в качестве элемента: F = {X | XX}. Спрашивается, является ли само множество F элементом F? Возможны только два случая:

1) F F. Тогда для него выполняется условие содержания элемента в множестве, т.е. F F.

2) F F. Тогда для F не выполняется условие содержания элемента в множестве, т.е. F содержит само себя: F F.

Получается, что в обоих случаях пришли к противоречию. Рассмотрение “бесконечно больших” множеств, элементами которых в свою очередь являются множества, невозможно в рамках обычной теории множеств и требует математики другого рода.

Потому будут рассматриваться только те множества, которые могут быть явно записаны или построены путем четко определенных процессов. Для каждого множества должна быть определена его спецификация. Итак, множества могут быть заданы тремя основными способами:

Перечислением элементов множества (множества A, B, C) {1,2,3}.

Этот способ применим только для конечных множеств.

Указанием свойств элементов множества, или заданием т.н. характеристического предиката: D = {x | P(x)} (Другими словами – задание разрешающей процедуры).

Здесь P(x) обозначает некоторое условие, выраженное в форме логического утверждения; это условие может быть проверено для любого элемента.

Порождающей процедурой: E = {y | y:=f(x)}.

Такая процедура описывает способ получения элементов множества из уже полученных элементов или из других объектов. Элементами множества считаются все объекты, которые могут быть получены с помощью такой процедуры.

Содержание