1.1.2 Связь метода Гаусса с разложением матрицы на множители. Теорема об lu разложении

Пусть дана система Aх=B (1.1), которая при прямом ходе преобразуется в эквивалентную систему (1.6) и которую запишем в виде

Cх=y, (1.7)

где С – верхняя треугольная матрица с единицами на главной диагонали.

Как связаны в системе (1.1) элементы В и элементы y из (1.7)?

Если внимательно посмотреть на прямой ход метода Гаусса, то можно увидеть, что

.

Для произвольного j имеем

,

где j= , d_ji – числовые коэффициенты:

. (1.8)

Это можно записать в виде:

В=Dy,

где D-нижняя треугольная матрица с элементами на главной диагонали (j= , ).

В связи с тем, что в методе Гаусса угловые коэффициенты не равны нулю , то на главной диагонали матрицы D стоят не нулевые элементы. Следовательно, эта матрица имеет обратную, тогда y=D^-1В, Сx= D^-1В. Тогда

DCx=B (1.9)

В результате использования метода Гаусса, получили разложение матрицы А на произведение двух матриц

A = DC,

где D – нижняя треугольная матрица, у которой элементы на главной диагонали не равны нулю, а C – верхняя треугольная матрица с единичной диагональю.

Таким образом, если задана матрица A и вектор B, то в методе Гаусса сначала производится разложение этой матрицы А на произведение D и C, а затем последовательно решаются две системы:

Dy=B,

Cx=y. (1.10)

Из последней системы находят искомый вектор x. При этом разложение матрицы А на произведение СD – есть прямой ход метода Гаусса, а решение систем (1.10) обратный ход. Обозначим нижнюю треугольную матрицу через L, верхнюю треугольную матрицу - U.