7.2 Решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток

Рассмотрим уравнение Лапласа

.

(7.8)

Уравнение (7.8) описывает распространение электромагнитных волн(полей). Будем рассматривать уравнение Лапласа в прямоугольной области с краевыми условиями

; ; ; ,

где -заданные функции. Заметим, что чаще всего область бывает не прямоугольной.

Введем обозначения u_ij=u(x_i,y_j). Накладываем на прямоугольную область сетку ; i=0,1,…,n; ; j=0,1,…,m. Тогда , .

Частные производные аппроксимируем по формулам

и заменим уравнение Лапласа конечно-разностным уравнением

Рисунок 12 – Схема “крест”

,

(7.9)

где: i=1,…,n-1, j=1,...,m-1 (т.е. для внутренних узлов).

Погрешность замены дифференциального уравнения разностным составляет величину О( ). Выразим u_i,j при h=l, и заменим систему

(7.10)

Получаем систему (7.10) линейных алгебраических уравнений, которые можно решить любым итерационным методом (Зейделя, простых итераций и т.д.). При этом построении системы использовалась схема типа “крест”(рисунок 12). Строим последовательность итераций по методу Гаусса-Зейделя

,

где s-текущая итерация.

Условие окончания итерационного процесса

.

(7.11)

Условие (7.11) ненадежно и на практике используют другой критерий

где .

Схема “крест “- явная устойчивая схема ( малое изменение входных данных ведет к малому изменению выходных данных).