logo
ЭУМКД_ДиВМ3

6.3 Численное интегрирование жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений

Жесткие системы можно сравнить с плохо обусловленными системами алгебраических уравнений.

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений(ДУ)

,

(6.21)

где . Для решения (6.21) рассмотрим разностные методы вида

,

(6.22)

где n= m, m+1, m+2,….

Устойчивость и сходимость методов (6.22) определяется расположением корней характеристического уравнения, т.е. |q|1 - корни принадлежат единичной окружности. Среди методов (6.22) выделим те, которые позволяют получить асимптотически устойчивые решения.

Пример. В качестве частного случая (6.21) рассмотрим уравнение вида

,

(6.23)

где: ; <0; - решение ДУ. При  <0 решение есть монотонно убывающая функция при t. Для этого решения можно записать при любом шаге  >0

,

(6.24)

что означает устойчивость решения.

Рассмотрим для задачи (6.23) метод Эйлера

,

где: n=0, 1, 2, …, , q-промежуточный параметр, равный 1+.

Оценка (6.24) для метода Эйлера будет выполнена тогда и только тогда, когда |q|. Шаг лежит в интервале 0 < <. Метод Эйлера для задачи (6.23) устойчив при выполнении этого условия.

Определение 1. Разностный метод (6.22) называется абсолютно устойчивым, если он устойчив при любом >0.

Определение 2. Разностный метод называется условно-устойчивым, если он устойчив при некоторых ограничениях на .

Например, метод Эйлера для (6.23) условно-устойчив, т.к. 0 <  <. Примером абсолютно устойчивого метода является неявный метод Эйлера

,

.

Замечание. Условная устойчивость является недостатком явных методов в связи с тем, что приходится выбирать мелкий шаг интегрирования.

Пример для задачи (6.23). Если =-200, тогда 0.01. Если мы рассмотрим интервал (0,1], то необходимо будет 100 шагов. Неявные методы со своей стороны приводят к решению на каждом шаге нелинейного уравнения, но это уже недостаток неявного метода.

Yandex.RTB R-A-252273-3
Yandex.RTB R-A-252273-4