5.1 Интерполяционный многочлен Лагранжа

Рассмотрим случай, когда узлы интерполирования не равноотстоят друг от друга на отрезке [a,b]. Тогда шаг h = x_i+1- x const. Задача имеет единственное решение, если в качестве интерполирующей функции F(x) взять алгебраический многочлен

L_n(x )=a₀+a₁ x+a₂ x²+…+a_nxⁿ,

где а неизвестные постоянные коэффициенты.

Используя условие (5.2) можем записать

(5.4)

Запишем это в виде:

(5.5)

Эта система однозначно разрешима, так как система функций 1,х,х²,…,хⁿ линейно независима в точках х₀,х₁,…,х_n. Однозначная разрешимость следует из того факта, что определитель этой системы (определитель Вандермонда)

Без вывода приведем одну из форм записи интерполяционного многочлена Лагранжа

(5.6)

Определение. Этот многочлен называется интерполяционным многочленом Лагранжа и сокращенно записывается в виде

L (x) = (5.7)