5.2.1 Интерполяционный многочлен Ньютона для равноотстоящих узлов

Вычисление значений функции для значений аргумента, лежащих в начале таблицы удобно проводить, пользуясь первой интерполяционной формулой Ньютона. Для этого введем понятие конечной разности.

Определение. Конечной разностью перового порядка называется разность между значениями функции в соседних узлах интерполяции. Тогда конечные разности в точках х₀,х₁,…,х_n-1

,

,

. . . . . . .

.

Конечная разность второго порядка имеет вид:

Рассмотрим некоторые свойства конечных разностей. Вторая конечная разность в точке хi

.

Аналогично третья конечная разность

.

Общее выражение для конечной разности n-го порядка имеет вид

а вообще, конечная разность порядка m от конечной разности порядка n

.

Конечные разности n-го порядка от многочлена степени n - есть величина постоянная, а конечные разности n+1-го порядка равны нулю.

Для вычисления значений функции в начале таблицы требуется построить интерполяционный многочлен степени n такой, что выполнены условия интерполяции

.

В силу единственности многочлена степени n, построенного по n+1 значениям функции f(x) многочлен , в конечном счете, совпадает с многочленом Лагранжа. Найдем этот многочлен в виде:

,

где а_i(i=0,1,…, n) – неизвестные коэффициенты. Для нахождения а₀ положим . Тогда , отсюда а₀=у₀.

Для вычисления рассмотрим первую конечную разность для многочлена Pn(x) в точке х.

В результате преобразований получим

Вычислим первую конечную разность многочлена P_n(x) в точке х₀

, но откуда .

Чтобы определить коэффициент а2, составим конечную разность второго порядка

Отсюда после преобразования получим . Вычисляя конечные разности более высоких порядков и полагая х=х0, придем к общей формуле для определения коэффициентов: (i=0,1,2,…,n).

Подставим значения в многочлен, в результате получим первую интерполяционную формулу Ньютона:

Первую интерполяционную формулу можно записать в том виде, в котором ее удобнее использовать для интерполирования в начале таблицы. Для этого введем переменную q=(x-x₀)/h, где h-шаг интерполирования, а q-число шагов. Тогда первая формула примет вид