Прямолинейные образующие поверхностей второго порядка

Некоторые из рассмотренных поверхностей второго порядка можно образовать движением одной прямой. Это очевидно для цилиндра и конуса. Оказывается, что однополостной гиперболоид и гиперболический параболоид также являются поверхностями, состоящими из прямолинейных образующих.

Рассмотрим однополостной гиперболоид, заданный своим каноническим уравнением

(18.21)

Перепишем его в виде

_или

(18.22)

Рассмотрим прямую

(18.23)

Если координаты некоторой точки удовлетворяют уравнениям (18.23), то ее координаты очевидно удовлетворяют и (18.22). Значит, соотношение (18.23) задает семейство прямых, лежащих на однополостном гиперболоиде.

Покажем теперь, что через любую точку однополостного гиперболоида проходит некоторая прямая семейства (18.23). Пусть точка принадлежит однополостному гиперболоиду, тогда

(18.24)

Выберем и так, чтобы

(18.25)

Докажем, что т.е. что точка принадлежащая однополостному гиперболоиду, принадлежит также прямой, определяемой уравнениями (18.23). Пусть

(18.26)

Из (18.25) и (18.26) следует, что что противоречит соотношению (18.23).

Def. Прямые (18.22) называют прямолинейными образующими однополостного гиперболоида (рис. 18.11).

Рассмотрим теперь гиперболический параболоид, заданный своим каноническим уравнением

или

(18.28)

г. Москва по проекту В. Г. Шухова была построена радиовышка на Шаболовке высотой около 150 м. Башня получила признание как одно из самых красивых и выдающихся достижений инженерной мысли в мире.