6.7.2 Метод прогонки (одна из модификаций метода Гаусса)

При применении метода конечных разностей к краевым задачам для дифференциальных уравнений второго порядка получается система линейных алгебраических уравнений с трехдиагональной матрицей, т.е. каждое уравнение системы содержит три соседних неизвестных. Для решения таких систем разработан специальный метод – «метод прогонки».

Для этого систему (6.52) перепишем в виде

для внутренних точек (i=1,…,n-1),

(6.54)

где: ; ; .

На концах отрезка x₀=a и x _n=b производные заменяем разностными отношениями

и .

Учитывая эту замену получим еще два уравнения

(6.55)

Обратим внимание на внешний вид записи системы (6.54), (6.55). В каждом уравнении системы присутствует три ненулевых элемента. В первом и последнем - по два ненулевых коэффициента.

Разрешая уравнение (6.54) относительно , получим

.

(6.56)

Предположим, что с помощью полной системы (6.54), (6.55) из уравнения (6.56) исключена неизвестная . Тогда это уравнение примет вид

,

(6.57)

где: - некоторые коэффициенты; i=1,2,…,n-1. Отсюда

.

Подставляя это выражение в уравнение (6.54), получим

,

а отсюда

.

(6.58)

Сравнивая (6.57) и (6.58), получим для определения и рекуррентные формулы

; i=1,…,n-1.

(6.59)

Из первого краевого условия (6.55) и из формулы (6.57) при i=0 находим

; .

(6.60)

На основании формул (6.59), (6.60) последовательно определяются коэффициенты , (i=1,…,n-1) до и включительно (прямой ход).

Обратный ход начинается с определения . Для этого из второго краевого условия (6.55) и из формулы (6.51) при i=n-1 найдем

.

(6.61)

Далее по формуле (6.57) последовательно находим .

Заметим, что метод прогонки обладает устойчивым вычислительным алгоритмом.