Эллиптический параболоид

Def. Эллиптическим параболоидом называется поверхность, каноническое уравнение которой имеет вид

(18.8)

Исследуем форму эллиптического параболоида.

1. Из уравнения (18.8) видно, что координатные плоскости и являются плоскостями симметрии эллиптического параболоида, а ось – его осью симметрии. При эллиптический параболоид расположен в полупространстве а при – в полупространстве

2. Исследуем форму эллиптическогопараболоида при по его сечениям координатными плоскостями и параллельными им плоскостями. Уравнениями линии пересечения эллиптического параболоида с плоскостью будут

Это уравнение определяет точку – начало координат.

Уравнения линий пересечения данного параболоида с плоскостями параллельными координатной плоскости имеют вид

(18.9)

Это эллипсы с полуосями и Причем при возрастании полуоси эллипса неограниченно возрастают.

3. Линией пересечения эллиптического параболоида (18.8) с плоскостью будет парабола

(18.10)

Аналогично линией пересечения эллиптического параболоида (18.8) с плоскостью - парабола

(18.11)

Плоскость пересекает данный параболоид по линии, которая задается уравнением

или

(18.12)

Уравнение (18.12) задает параболу. Эта парабола получается из параболы (18.10) с помощью параллельного переноса, при котором вершина параболы перемещается из точки в точку Таким образом, эллипти­ческий параболоид (18.8) может быть образован путем параллельного пере­носа параболы (18.10), при котором ее вершина движется по параболе (18.11).

Аналогичными рассуждениями устанавливаем, что плоскость пересекает эллиптический параболоид по параболе