5.3 Интерполирование сплайнами

Многочлен Лагранжа или Ньютона на всем отрезке с использованием большого числа узлов интерполирования часто приводит к плохому приближению, что объясняется накоплением погрешностей в ходе вычислений. Кроме того, из-за расходимости процесса интерполирования увеличение числа узлов не обязано приводить к повышению точности вычислений. В силу вышесказанного на практике весь отрезок разбивается на частичные интервалы и на каждом из них приближающая функция заменяется многочленом невысокой степени. Такая интерполяция называется кусочно-полиномиальной интерполяцией.

Определение. Сплайн - функцией называют кусочно-полиномиальную функцию, определенную на отрезке и имеющую на этом отрезке некоторое число непрерывных производных.

Слово сплайн означает гибкую линейку, которую используют для проведения гладких кривых через определенное число точек на плоскости. Преимущество сплайнов - сходимость и устойчивость процесса вычисления. Рассмотрим частный случай (часто используемый на практике), когда сплайн определяется многочленом третьей степени.