logo search
ЭУМКД_ДиВМ3

6.1.2 Методы Рунге-Кутта

Метод Рунге-Кутта второго порядка точности

Отличительная особенность методов Рунге-Кутта от метода (6.5) заключается в том, что значение правой части уравнения вычисляется не только в точках сетки, но и также в середине отрезков(промежуточных точках).

Предположим, что приближенное значение решения задачи в точке уже известно. Для нахождения поступают так:

1) используют схему Эйлера в таком виде

(6.6)

и отсюда вычисляют ;

2) воспользуемся разностным уравнением вида

,

(6.7)

откуда найдем значение . Далее подставим значение в уравнение (6.7). Тогда

,

(6.8)

где .

Можно показать, что метод (6.8) имеет второй порядок точности, т.е. .

Метод (6.8) называется методом прогноза и коррекции в том смысле, что на первом этапе решение как бы предсказывается с точностью , а на втором этапе - с точностью до (второй порядок точности).

Будем рассматривать явные методы. Задаем числовые коэффициенты , , i=2,...,m; j=1,2,...,(m-1) и =1,2,...,m . Последовательно вычисляем функции

;

;

;

……………………………………………..

.

Затем из формулы находим значения . Здесь , -числовые параметры, которые определяются или выбираются из соображений точности вычислений.

При m=1 и =1 получается метод Эйлера, при m=2 получаем семейство методов

,

(6.9)

где: ; ; y0=u0.

Семейство определяет явные методы Рунге-Кутта. Подставив нужные 1 и 2, получаем окончательную формулу. Точность этих методов совпадает с точностью аппроксимирующего метода и равна .

Невязкой, или погрешностью аппроксимации метода (6.9) называется величина

,

полученная заменой в (6.9) приближенного решения точным решением.

При 1+2=1 получим первый порядок точности. Если же потребовать дополнительно , то получим методы второго порядка точности вида

при .

Приведем один из методов Рунге-Кутта третьего порядка точности

,

где: ; ; .

Метод Рунге-Кутта 4-го порядка точности

,

где:

Методы Рунге-Кутта сходятся и порядок их точности совпадает с порядком аппроксимации разностным отношением.

Теорема. Пусть правая часть уравнения (6.4) удовлетворяет условию Липшица по аргументу u с константой L, и пусть -невязка метода Рунге-Кутта. Тогда для погрешности метода при справедлива оценка

,

где: ; ; .

На практике обычно пользуются правилом Рунге. Для этого сначала проводят вычисления с шагом , затем - . Если - решение при шаге , а - при шаге , то справедлива оценка . Тогда за оценку погрешности при шаге принимают величину

.