lec_alg_i_geom

Прямая в пространстве. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Уравнение прямой в пространстве

Положение прямой в пространстве однозначно определяется точкой и вектором который называется направляющим вектором прямой Пусть радиус-вектор точки , а радиус-вектор текущей точки

Рис. 15.1

прямой (рис. 15.1). тогда и только тогда, когда , т.е. или:

(15.1)

Уравнение (15.1) называется векторным уравнением прямой в пространстве. В координатной форме уравнение (15.1) записывается в виде:

(15.2)

Уравнения (15.2) называют параметрическими уравнениями прямой в пространстве.

Условие можно записать в координатной форме:

(15.3)

Уравнения (15.3) называют еще каноническими уравнениями прямой.

Замечание. Если то уравнения (15.3) надо понимать в смысле (15.2)

Прямая также однозначно определяется двумя точками и (рис. 15.2).

В этом случае в качестве направляющего вектора можно взять вектор

Рис. 15.2

Тогда уравнения (15.2) принимают вид:

(15.4)

Уравнения (15.4) называют уравнениями прямой, проходящей через две точки.

Прямая в пространстве может быть задана как линия пересечения плоскостей. Пусть плоскости и заданы соответственно уравнениями и Тогда их прямая пересечения может быть задана следующим образом:

(15.5)

Очевидно, для того, чтобы система (15.5) задавала прямую необходимо и достаточно, чтобы и не были коллинеарны. В этом случае направляющий вектор прямой определяется по формуле:

(15.6)

N. Составить канонические уравнения прямой

Решение.

Найдем какую-нибудь точку на данной прямой. Для этого положив получим систему:

Отсюда Таким образом, точка - точка прямой.

Найдем направляющий вектор прямой по формуле (15.6).

Тогда:

Составим канонические уравнения прямой, воспользовавшись формулой (15.3).

Ответ.

Замечание. Для составления канонических уравнений прямой можно поступить иначе. Можно отыскать две какие-нибудь точки данной прямой и воспользоваться уравнениями прямой, проходящей через две точки (15.4).

Содержание