1.3 Операции над множествами

Множество A называется подмножеством множества B, если любой элемент множества A принадлежит множеству B. При этом пишут AÌB, где "Ì" есть знак вложения подмножества. Из определения следует, что для любого множества A справедливы, как минимум, два вложения A Ì A и A Ì U.

Если A Ì B и A ≠ B, A ≠ Ø, то A называется собственным подмножеством множества B. В этом случае B содержит хотя бы один элемент, не принадлежащий A.

В теории множеств, по определению, полагают, что пустое множество является подмножеством любого множества:   A.

Пустое множество и само множество A называются несобственными подмножествами множества A.

При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Эйлера–Вейна , на которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника (рис 1.1).

Определение. Объединением множеств A и B (обозначение A B) называется множество элементов x таких, что x принадлежит хотя бы одному из двух множеств A или B (рис 1.2). Символически это можно записать следующим образом:

A B = {xx  A или     x  B}.

Определение. Пересечением множеств A и B (обозначение A B) называется множество, состоящее из элементов x, которые принадлежат и множеству A и множеству B (рис. 1.3):

A B = {xx  A и    x  B}.

Определение. Разностью множеств A и B называется множество всех тех элементов множества A, которые не принадлежат множеству B (рис. 1.4):

A\B = {xx  A  и    x  B}.

Определение. Симметрической разностью множеств A и B называется множество A B = ( A\B )( B\A ) (рис. 1.5).

Определение. Абсолютным дополнением множества A называется множество всех элементов, не принадлежащих A, т.е. множество A = U\A, где U - универсальное множество (рис. 1.6).

В дальнейшем вместо термина "абсолютное дополнение" мы будем употреблять термин "дополнение".

Пример. Если U = { a,  b,  c,  d,  e,  f,  g,  h }, A = {  c,  d,  e }, B = { a,  c,  e,  f,  h }, то

Свойства операций

Для любых множеств A,B,C выполняются следующие тождества:

A B = B A,   A B = B A

(коммутативность объединения и пересечения);

A ( B C ) = ( A B ) C,   A ( B C ) = ( A B ) C

(ассоциативность объединения и пересечения);

A ( B C ) = ( A B ) ( AC ),

A ( B C ) = ( A B ) ( AC )

(дистрибутивность;

A A = A,   A A = A

(идемпотентность;

A U = U,   A U = A,   A  = A,   A  = ,

A A = U,   A A = 

(свойства универсального и пустого множеств);

- A   = A

(закон двойного отрицания);

A B   = - A    - B   ,    A B   = - A    - B

(законы де Моргана).