lec_alg_i_geom

Геометрическая интерпретация комплексных чисел

В основе геометрической интерпретации поля комплексных чисел лежит возможность поставить каждому комплексному числу поставить в соответствие точку плоскости с координатами . Между элементами поля С и точками плоскости с выбранной декартовой системой координат можно установить взаимно-однозначное соответствие. При этом действительные числа изображаются точками оси Ох, а чисто мнимые – точками оси Оу. Поэтому ось Ох называется действительной осью, а ось Оу – мнимой осью. Плоскость, на которой изображают комплексные числа, называют комплексной плоскостью. Таким образом, через z обозначают как комплексное число, так и точку плоскости, которая изображает это число.

Комплексное число рассматривают радиус-вектор точки z комплексной плоскости.

Заметим, что операции сложения и вычитания комплексных чисел хорошо интерпретируются на комплексной плоскости. Сложение комплексных чисел выполняется по правилу сложения векторов (правилу параллелограмма). Аналогично интерпретируется и операция вычитания (рис. 8.1).

Число противоположное , будет точкой комплексной плоскости симметричной точке z относительно начала координат. Число сопряженное с числом

Рис. 8.1.

z изображается точкой, симметричной точке z относительно оси Ох.

Заметим, что для комплексных чисел понятия «больше», «меньше» не могут быть определены, т.к. они, в отличие от действительных чисел, расположены не на прямой, точки которой естественным образом упорядочены, а на плоскости.

Th.8.2

Если – комплексные числа, то имеют место соотношения:

(8.10)

(8.11)

Доказательство.

Неравенство (8.10) вытекает непосредственно из неравенства треугольника (известной из курса элементарной геометрии), ввиду того, что имеем треугольник (рис. 8.1) со сторонами

Поскольку и , то из неравенства (8.10) вытекает неравенство (8.11) .

ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКАЯ ФОРМА ЗАПИСИ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ. ДЕЙСТВИЯ С КОМПЛЕКСНЫМИ ЧИСЛАМИ В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКОЙ ФОРМЕ. ФОРМУЛА МУАВРА. ИЗВЛЕЧЕНИЕ КОРНЯ n-ОЙ СТЕПЕНИ ИЗ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА.

Тригонометрическая форма записи комплексных чисел. Действия с комплексными числами в тригонометрической форме

Пусть произвольное комплексное число, которое изобразим на комплексной плоскости (рис. 9.1). Обозначим , а угол между положительным напрвлением оси Ох и вектором через .

Def. Число r называется модулем, а угол аргументом комплексного числа z. Обозначают:

Рис. 9.1.

В отличие от модуля аргумент комплексного числа определяется неоднозначно (с точностью до ).

Абрахам де Муавр (26.05.1667 — 27.11.1754) - английский математик французского происхождения. Кроме правила возведения в n-ю степень и извлечения корня n-й степени для комплексных чисел, исследовал степенные ряды, первый пользовался возведением в степень бесконечных рядов. В теории вероятностей доказал частный случай теоремы Лапласа .

Def. Значение из интервала называют главным значением аргумента и обозначают Таким образом,

Из прямоугольного (рис. 9.1) , Получаем, что т.е.

(9.1)

где (9.2)

Представление комплексного числа в виде (9.1) носит название тригонометрической формы записи комплексного числа.

N. Представьте число в тригонометрической форме.

Решение.

У нас

Тогда, .

Th.9.1

Если и , то

(9.3)

(9.4)

Доказательство.

Th.9.2

(формула Муавра)

Если , то для всех

(9.5)

Доказательство.

Рассмотрим случай, когда В этом случае формула (9.4) непосредственно следует из формулы (9.3).

Пусть Тогда:

Таким образом, формула (9.4) справедлива для

Получили, что формула (9.5) верна для всех . Эта формула носит название формулы Муавра .

N. Даны числа

Вычислить: а) б) в)

Решение.

а)

б)

в)

Содержание