2.2 Метод вращения (Гивенса)

Метод Гивенса как и метод Гаусса состоит из прямого и обратного ходов.

Прямой ход метода. Исключаем неизвестное из всех уравнений, кроме первого. Для исключения из 2-го уравнения вычисляют числа

, ,

где  и  такие, что , .

Первое уравнение системы заменяем линейной комбинацией первого и второго уравнений с коэффициентами и ,а второе уравнение такой же комбинацией с и - . В результате получим систему

. (2.6)

Здесь

где j= .

Преобразование системы (2.1) к системе (2.6) эквивалентно умножению матрицы A и вектора B слева на матрицу С₁₂ вида

.

Аналогично для исключения из третьего уравнения вычисляем числа

и ,

такие, что .

Затем первое уравнение системы (2.6) заменяем линейной комбинацией первого и третьего уравнений с коэффициентами , , а третье уравнение системы (2.6) тоже заменяем линейной комбинацией с ,– . Это преобразование эквивалентно умножению слева на матрицу

.

Исключая неизвестное х₁ из всех последующих уравнений получим систему

А⁽¹⁾ х=В,

где матрица A⁽¹⁾=C_1m…C₁₃C₁₂A, , а вектор правых частей .

Здесь и далее через С_kj обозначена матрица элементарного преобразования, отличающаяся от единичной матрицы Е только четырьмя элементами. Действие матрицы С_kj на вектор x эквивалентно повороту вектора x вокруг оси перпендикулярной плоскости на угол такой, что

, .

Операцию умножения на матрицу С_kj называют плоским вращением или преобразованием Гивенса.

Первый этап состоит из m-1 шагов, в результате чего получается система

(2.7)

В матричной форме А⁽¹⁾ х=В⁽¹⁾.

На втором этапе, состоящем из m-2 шагов, из уравнений системы (2.7) с номерами 3,4,…,m исключают неизвестное х₂. B результате получим систему

В матричной форме получаем , где , .

После завершения (m-1)-го шага придем к системе с верхней треугольной матрицей вида

,

где .

Обратный ход метода вращения проводится точно также, как и для метода Гаусса.