1.2.6 Сходимость итерационных методов

Рассмотрим систему Ax=B, где А – невырожденная действительная матрица.

Для решения системы рассмотрим одношаговый стационарный метод

, (1.24)

при n=0,1,2….

Предположим, что задан начальный вектор решения. Тогда метод (1.24) сходится, если норма вектора

Теорема. Условие сходимости итерационного метода

Пусть А - симметричная положительно определенная матрица и выполнено условие D - 0.5tA > 0 (где t > 0). Тогда метод (1.24) сходится.

Следствие 1. Пусть А – симметричная и положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, то есть:

,

при j=1,2,…,m. Тогда метод Якоби сходится.

Следствие 2. Пусть А - симметричная и положительно определенная матрица с диагональным преобладанием, тогда метод верхней релаксации сходится при (0< <2).

Проверяется, при каком  - метод достигает заданной точности быстрее. В частности, при =1 метод верхней релаксации превращается в метод Зейделя, следовательно, при =1 метод Зейделя сходится.

Теорема. Итерационный метод (1.24) сходится при любом начальном векторе x⁰ тогда и только тогда, когда все собственные значения матрицы

по модулю меньше единицы.