lec_alg_i_geom

Элементарные матрицы и их применение

Def. Элементарными преобразованиями строк (столбцов) матрицы называют любое из следующих действий:

перестановка любых двух строк (столбцов);
умножение любой строки (столбца) на некоторое число ;
прибавление к одной строке (столбцу) другой строки (столбца), умноженной на некоторое число.

Пусть Т – элементарное преобразование строк (столбцов). Обозначим Т(А) – матрицу, которая получается из А с помощью этого преобразования.

Def. Всякая матрица Т(Е) называется элементарной матрицей.

Th.6.2

Если Т – некоторое элементарное преобразование строк то:

Т(А)=Т(Е)·А

Доказательство.

Пусть Т – перестановка i –ой j – ой строк . Тогда:

Пусть Т – умножение i –ой строки на некоторое число . Тогда:

Пусть Т – прибавление к i –ой строке j – ой строки, умноженной на некоторое число . Тогда:

Th.6.3

Если Т – некоторое элементарное преобразование столбцов, то Т(А)= А ·Т(Е)

Доказательство.

Отличается от доказательства теоремы 6.3 только заменой строк на столбцы.

Таким образом, теоремы 6.2 и 6.3 утверждают, что всякое элементарное преобразование строк (столбцов) матрицы А равносильно умножению слева (справа) на соответствующую элементарную матрицу.

Содержание