Системы линейных однородных уравнений

Рассмотрим систему линейных однородных уравнений:

(7.9)

Очевидно, что , т.к. отличается от А наличием нулевого столбца. Значит, система линейных однородных уравнений (СЛОУ) всегда

совместна. Пусть .

Если , то СЛОУ имеет единственное решение. Если - то множество решений.

Теорема 7.10 выражает свойства решений СЛОУ.

Доказательство.

СЛОУ (7.9) запишем в матричном виде: АХ=0. Т.к. - решение СЛОУ (7.9), то .

Рассмотрим . Тогда .

Значит, С – решение СЛОУ (7.9) .

Def. Фундаментальной системой решений (ФСР) СЛОУ называется базис линейного подпространства ее решений.

Заметим, что СЛОУ имеет ФСР только в том случае, если она неопределенная. Причем таких ФСР бесконечное множество.

Доказательство.

Пусть - свободные переменные СЛОУ (7.9). Рассмотрим произвольный определитель (n-r)-го порядка

(7.10)

Выберем элементы определителя d в качестве свободных переменных, получим n-r решений СЛОУ (7.9):

(7.11)

Покажем, что – базис линейного подпространства решений СЛОУ. Для этого необходимо показать, что они линейно независимы и любое другое решение СЛОУ является их линейной комбинацией.

n-мерные векторы – линейно независимы. Действительно, если бы они были линейно зависимы, то эта зависимость перенеслась бы и на последние n-r элементов, т.е на строки определителя (7.10). Но тогда, согласно критерию равенства нулю определителя, а это не так.

Пусть – произвольное решение СЛОУ (7.9). Покажем, что – линейная комбинация .

Рассмотрим (n-r)-мерные векторы, компонентами которых служат строки определителя d:

(7.12)

Векторы – линейно независимы, т.к. Введем в рассмотрение еще один (n-r)-мерный вектор (его компоненты совпадают с последними n-r компонентами вектора ).

Система (n-r)-мерных векторов – линейно зависима согласно теореме 7.7. Значит, на основании теоремы 7.6 можно сделать вывод о том, что

(7.13)

Рассмотрим n-мерный вектор . На основании теоремы 7.10 можно утверждать, что – решение СЛОУ (7.9). Из соотношения (7.13) следует, что все компоненты вектора , соответствующие свободным переменным равны 0. Но тогда – тривиальное решение СЛОУ (7.9), т.е. . Значит, .

Таким образом, доказано, что образуют ФСР СЛОУ (7.9) .

Теорема 7.11 дает практический способ нахождения ФСР для СЛОУ: свободным переменным придают значения элементов (по строкам) любого определителя (n-r)-го порядка, отличного от нуля. Полученные при этом решения СЛОУ образуют ФСР. В качестве указанного определителя удобно брать определитель единичной матрицы (n-r)-го порядка.

N. Найти ФСР для СЛОУ

Решение. – свободные переменные.

Придавая свободным переменным значения элементов по строкам определителя , вычисляем соответствующие значения связных переменных.

Ответ: – ФСР.

Рассмотрим связь, которая существует между решениями однородных и неоднородных систем. Путь дана система линейных неоднородных уравнений (СЛНУ):

(7.14)

Def. СЛОУ, полученная из системы (7.14) заменой свободных членов нулями, называется приведенной системой для СЛНУ.

Так СЛОУ (7.9) является приведенной для СЛНУ (7.14).

Следующие две теоремы отражают связь между решениями этих систем.

Доказательство.

Запишем обе системы в матричном виде:

(7.14) АХ=В

(7.9) АХ=0

Пусть С – решение СЛНУ (7.14), а Р – решение СЛОУ (7.9). Тогда АС=В и АР=0.

А(С+Р)=АС+АС=В+0=В. Т.е. Р+С – решение СЛНУ (7.14) .

Доказательство.

Запишем обе системы в матричном виде:

(7.14) АХ=В

(7.9) АХ=0

Пусть и - решения СЛНУ (7.14). Тогда

– решение СЛОУ (7.9) .