Ранг матрицы

Def. Ранг системы векторов – наибольшее число линейно независимых векторов этой системы (т.е. размерность линейной оболочки этих векторов).

Def. Рангом матрицы А называется ранг системы ее столбцов. Обозначается ранг матрицы r(A).

Доказательство.

Пусть наибольший порядок миноров, отличных от нуля, равен r и этот минор М расположен в левом верхнем углу (7.3).

(7.4)

Т.к. , то согласно теореме 7.8. его столбцы линейно независимы. Значит и столбцы 1, 2, …,r матрицы А. Действительно, если бы они были линейно зависимыми, то эта зависимость сохранилась бы и для столбцов минора М. Докажем, что произвольный столбец является линейной комбинацией столбцов 1, 2, …,r.

Построим вспомогательный определитель окаймлением минора М элементами -го столбца и i-ой строки:

(7.5)

Если , то , т.к. содержит одинаковые строки. Если же , то - минор r+1 – го порядка, а наибольший отличный от нуля минор имеет порядок r, следовательно, .

Разложим по присоединенной строке.

.

Заметим, что .

Кроме того,

не зависит от выбранной строки i. Обозначим .Тогда:

.

Отсюда . Таким образом, l-ый столбец является линейной комбинацией столбцов 1, 2, …,r .

Def. Минор наибольшего порядка, отличный от нуля называется базисным минором, а строки и столбцы, которые его содержат, называют базисными строками и столбцами.

Замечание 1.

Доказанная теорема дает практический метод вычисления ранга матрицы. При доказательстве теоремы мы не рассматривали все миноры (r+1)-го порядка, а лишь окаймляющие миноры, поэтому из равенства нулю лишь этих миноров вытекает, что r – максимальное число линейно независимых столбцов матрицы.

Таким образом, имеем следующее правило вычисления ранга матрицы, которое носит название метода окаймляющих миноров.

Если найден минор k-го порядка матрицы А отличный от нуля, то вычисляют все окаймляющие миноры (k+1)-го порядка. Если все они равны 0, то .

N. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

Решение.

Вычислим минор, расположенный в первых двух строках и первых двух столбцах.

. Значит, . Вычислим все окаймляющие миноры:

.

Таким образом, .

Ответ:

Замечание 2. Следствие 5 из теоремы о ранге дает другой способ вычисления ранга матрицы: матрицу сводят к ступенчатому виду, а затем подсчитывают количество ненулевых строк.

N. Вычислить ранг матрицы .

Решение. Сведем матрицу А к ступенчатому виду.

(поскольку имеем две ненулевые строки) .

Ответ: