6.2.1 Задача подбора числовых коэффициентов aк , bк

Выясним, как влияют коэффициенты a_k, b_k на погрешность аппроксимации уравнения (6.11), на устойчивость и сходимость.

Определение. Невязкой, или погрешностью аппроксимации методов (6.11) называется функция

,

(6.14)

где -точное решение дифференциального уравнения (6.10).

Если разложить функции в ряд Тейлора в точках равномерной сетки, окончательно получим функцию

Из вида функции следует, что порядок аппроксимации будет равен p, если выполнены условия

(6.16)

где l=1,...,p.

Условия (6.16) представляют собой СЛАУ относительно неизвестных , . Их количество равно 2(m+1). Решив систему (6.16), получаем неизвестные числовые коэффициенты. Для неявных методов наивысшим порядком аппроксимации p=2m, а для неявных – p=2m-1.

Запишем систему (6.16) для методов Адамса

(6.17)

где l=2,...,p . Отсюда наивысший порядок аппроксимации для неявного метода p=m+1, для явного – p=m.