6.3.2.2 Метод Ракитского(матричной экспоненты) решения систем оду

,

(6.30)

где: ; ; А-матрица размерности n*n.

Допустим, что матрица А - постоянная, т.е. ее элементы не зависят от времени. Система (6.30)–однородная, с постоянными коэффициентами. Запишем аналитическое решение (6.30)

,

(6.31)

где -матричная экспонента и

+….

(6.32)

Пусть необходимо (6.30) проинтегрировать при значениях t=, 2, 3,….

Если точно знать матрицу , то точное решение в указанных точках можно получить по формуле (6.31), т.е. решение можно записать

……………..…

Таким образом, задача сводится к тому, чтобы достаточно точно знать матрицу . На практике поступают следующим образом: при больших  рядом Тейлора нельзя воспользоваться в связи с его бесконечностью, т.е. для удовлетворительной точности пришлось бы взять много членов ряда, что трудно. Поэтому поступают так: отрезок [0,] разбивают на к-частей, чтобы длина h=/к удовлетворяла условию ||A*h||<0.1. Тогда запишем по схеме Горнера

.

Каждый столбец матрицы - вычисляют по формуле

,

где - вектор столбец, в i-ой строке которого 1, а в остальных - нули.

Если эта матрица найдена, то решение находится по (6.31).

Для исследования разностных методов при решении жестких систем рассматривают модельное уравнение

,

(6.33)

где -произвольное комплексное число.

Для того, чтобы уравнение (6.33) моделировало исходную систему (6.30) его нужно рассматривать при таких значениях , которые являются собственными числами матрицы А. Многошаговые разностные методы (6.31) имеют вид

,

(6.34)

где: n=m, m+1…;  .

Если решение уравнения (6.34) искать в виде , то для нахождения числа q получим характеристическое уравнение вида

.

Для устойчивости метода достаточно выполнения условия корней . В случае жестких систем используются более узкие определения устойчивости.

Предварительные сведения. Областью устойчивости разностных методов называется множество всех точек комплексной плоскости *, для которых разностный метод применительно к уравнению (6.33) устойчив.

Определение 1. Разностный метод называется А-устойчивым, если область его устойчивости содержит левую полуплоскость комплексной полуплоскости, т.е. Re<0.

Замечание. Решение модельного уравнения (6.33) асимптотически устойчиво при значениях Re<0, поэтому сущность А-устойчивого метода заключается в том, что А-устойчивый разностный метод является абсолютно устойчивым, если устойчиво решение исходного дифференциального уравнения.

Так как класс А-устойчивых методов узок, то пользуются А()-устойчивым методом.

Определение 2. Разностный метод (6.31) называется А()-устойчивым, если область его устойчивости содержит угол меньший , т.е. |arg(-)|<, где .Исходя из этого определяется, что при  А() устойчивость совпадает с определением А-устойчивого метода.