logo search
lec_alg_i_geom

Кривые второго порядка (продолжение) Директрисы эллипса и гиперболы

Def. Прямые, перпендикулярные большой оси эллипса и расположенные на расстоянии от его центра, называются директрисами эллипса.

Если задан эллипс своим каноническим уравнением с фокусами на оси (т.е. ), то его директрисами будут прямые и . Поскольку для эллипса то Значит, директрисы не пересекают эллипс (рис. 17.1).

Аналогично определяется директриса гиперболы.

Def. Прямые, перпендикулярные действительной оси гиперболы и расположенные на расстоянии от его центра, называются директрисами гиперболы.

Для гиперболы значит, Следовательно, директрисы не пересекают гиперболу. Для гиперболы, фокусы которой расположены на оси абсцисс, директрисы изображены на рис. 17.2.

Рис. 17.1

Рис. 17.2

Th. 17.1

Пусть - длина фокального радиуса точки эллипса (гиперболы), а - расстояние от этой точки до соответствующей директрисы, тогда

(17.1)

Доказательство.

Проведем доказательство теоремы для эллипса.

Пусть текущая точка эллипса. Согласно (16.8) и (16.9) Очевидно, что (рис. 17.3).

Что и требовалось доказать. Аналогично проводится доказательство для правой и левой ветвей гиперболы .

Рис. 17.3