6.2.2 Устойчивость и сходимость многошаговых разностных методов

Наряду с системами уравнений (6.11) будем рассматривать т.н. однородные разностные уравнения вида

,

(6.18)

где n=m,m+1,... .

Будем искать его решение в виде функции

,

где q-число подлежащее определению. Подставив в (6.18) получаем уравнение для нахождения q

.

(6.19)

Уравнение (6.19) принято называть характеристическим уравнением для разностных методов (6.11). Говорят, что разностный метод (6.11) удовлетворяет условию корней, если все корни уравнения (6.19) лежат внутри или на границе единичного круга комплексной плоскости, причем на границе нет кратных корней.

Разностный метод (6.11), удовлетворяющий условию корней, называется устойчивым методом.

Теорема. Пусть разностный метод (6.11) удовлетворяет условию корней и выполнено условие при . Тогда при , nm и достаточно малых  будет выполнена оценка

,

(6.20)

где: -погрешность аппроксимации; -погрешность в задании начальных условий; M=const.

Методы Адамса удовлетворяют условию корней, т.к. a₀=-a₁=1, следовательно, q=q₁=1.