6.2 Многошаговые разностные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Рассмотрим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения

где .

Для решения задачи Коши для уравнения (1) при t>0 введем равномерную сетку с постоянным шагом  .

Введем понятие линейного m шагового разностного метода для решения задачи (6.10). Линейным m-шаговым методом называется система разностных уравнений

,

(6.11)

где: n=m,m+1...; -числовые коэффициенты не зависящие от n; k=0,1,…,m.

Систему (6.11) будем рассматривать как рекуррентные соотношения, выражающие новое значения через ранее найденные значения , причем расчет начинают с индекса n=m, т.е. с уравнения

.

Отсюда следует, что для начала расчета по формулам (6.11) надо знать m предыдущих значений функции y, причем y =u . Эти предыдущие m значений могут быть найдены одним из одношаговых методов Рунге-Кутта.

Отличие от одношаговых методов состоит в том, что по формулам (6.11) расчет ведется только в точках сетки.

Определение. Метод (6.11) называется явным, если коэффициент b =0. Тогда значение легко выражается через . В противном случае метод называется неявным, и для нахождения y придется решать нелинейное уравнение вида

.

(6.12)

Обычно это уравнение решают методом Ньютона при начальном значении . Коэффициенты уравнения (6.11) определены с точностью до множителя, тогда, чтобы устранить этот произвол, вводят условие , с тем условием, что правая часть (6.11) аппроксимирует правую часть уравнения (6.10).

На практике используют частный случай методов (6.11), т.н. методы Адамса, т.е. когда производная аппроксимируется разностным отношением, включающим две соседние точки и . Тогда ; =0, k=2,...,m и

.

(6.13)

Это и есть методы Адамса. При b =0 метод будет явным, в противном случае – неявным.