Смешанное произведение векторов

Th.12.2

(выражение смешанного произведения через координаты сомножителей)

Если и то

(12.7)

Th.12.3

(свойства смешанного произведения векторов)

1. Смешанное произведение не меняется при перемене мест знаков векторного и скалярного произведения, т.е.

(12.8)

В связи с этим принято обозначение

2. При циклической перестановке векторов смешанное произведение не меняется, т.е. (12.9)

3. При перемене мест любых двух векторов-сомножителей смешанное произведение меняет свой знак на противоположный, т.е. (12.10)

4. Смешанное произведение ненулевых векторов равно нулю тогда и только тогда, когда они компланарны.

5. Смешанное произведение векторов и равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах, взятому со знаком «+», если эти векторы образуют правую тройку, и со знаком «–», если они образуют левую тройку.

4. Смешанное произведение векторов определяется значением определителя (12.7). Согласно критерию равенства нулю определителя (теорема 7.8) это возможно тогода и только тогда, когда строки определителя линейно зависимы, т.е. векторы и линейно зависимы, а, значит, компланарны .

5. Построим параллелепипед на векторах

равно площади параллелограмма , лежащего в основании параллелепипеда.

Если векторы и образуют правую тройку (рис. 12.4), то равна высоте параллелепипеда Если же данные векторы образуют левую тройку (рис. 12.5), то

Рис. 12.4

Рис. 12.5