ЭУМКД_ДиВМ3

4.1.1 Метод Леверрье

Метод разделяется на две стадии:

- раскрытие характеристического уравнения,

- нахождение корней многочлена.

Пусть det(A-E) - есть характеристический многочлен матрицы А={a_ij} (i,j=1,2,…,m), т.е. , и ₁,_2,…,_m - есть полная совокупность корней этого многочлена (полный спектр собственных значений).

Рассмотрим суммы вида (k=1,2,…,m), т.е.

(4.3)

где - след матрицы.

В этом случае при km справедливы формулы Ньютона для всех (1k m)

(4.4)

_{Откуда получаем}

при k=1 р₁ = -S₁_,

при k=2 р₂= -1/2 * (S₂ + р₁*S₁),

. . . . . . . . . . . . . .

при k=m р_m = -1/n * (S_m + р₁*S_m-1 + р₂*S_m-2 + ... + р_m_-1*S₁).

(4.5)

Следовательно, коэффициенты характеристического многочлена р_i можно определить, если известны суммы S₁,S₂,...,S_m. Тогда схема алгоритма раскрытия характеристического определителя методом Леверрье будет следующей:

1) вычисляем степень матрицы: А^к=А^к-1*А для k=1,…,m;

2) определяют S_k - суммы элементов стоящих на главной диагонали матриц А^к;

3) по формулам (4.5) находят коэффициенты характеристического уравнения р_i(i=1,2,…,m).

Содержание